裂项相消法
$\frac{1}{n(n+1)}$
$=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
例题：
$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2·3}+…+\frac{1}{n(n+1)})$
$=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
$=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n+1})=1$
夹逼定理求数列极限
若函数$F(x)$和函数$G(x)$
在$x_0$的邻域连续，
$x\to\ x_0$时极限都为A，
即$\lim_{x\to x_0} F(x)$
$=\lim_{x\to x_0} G(x)=A$，
且在该$x_0$的邻域一直满足$F(x)\leq f(x)\leq G(x)$。
则当$x\to x_0$时也有
$\lim_{x\to x_0}F(x)\leq$
$\lim_{x\to x_0}f(x)\leq$
$\lim_{x\to x_0}G(x)$
也就是$A\leq\lim_{x\to x_0}f(x)\leq A$
所以$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$。
例题1：
$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})$
解：令$f(x)=$原式
设$F(x)=\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+n\pi}+\frac{1}{n^2+n\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n\pi}$
$G(x)=\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+\pi}+…+\frac{1}{n^2+\pi})$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+\pi}$
$\because$ 函数$F(x)$和函数$G(x)$连续，且满足$F(x)\leq f(x)\leq G(x)$。
$\therefore$ 根据夹逼定理可知
$\lim_{x\to x_0}F(x)$
$=\lim_{x\to x_0}f(x)$
$=\lim_{x\to x_0}G(x)=1$
综上所述$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})=1$
八月一号那天发现忘记了这两个小知识点，故在此记录。。
求极限
$lim_{n\to\infty} \int^1_0 \frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}dx$
首先考虑
$x_n=\frac{sin^3x}{1+sin^3x}$
$\therefore 0 ≤ x_n ≤1$
$\therefore 0≤\frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}≤x^n$
$\because lim_{n\to\infty} \int^1_0 0 dx=lim_{n\to\infty} \int^1_0 x^n dx=0$
综上所述，由夹逼定理可知，
$lim_{n\to\infty} \int^1_0 \frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}dx=0$