微分中值定理
罗尔中值定理
如果 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足以下条件：
在闭区间 $[a,b]$ 上连续，
在开区间 $(a,b)$ 内可导，
$f(a)=f(b)$，则至少存在一个 $ξ∈(a,b)$，使得 $f’(ξ)=0$。
拉格朗日中值定理
如果函数$f(x)$满足：
在闭区间$[a,b]$上连续；
在开区间$(a,b)$内可导；
那么在开区间$(a,b)$内至少有一点$ξ∈(a,b)$ 使等式$f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)$ 成立。
积分中值定理
第一积分中值定理
若函数$f(x)$:
在闭区间$[a,b]$上连续，
则在积分区间$[a,b]$上至少存在一个点，
使下式成立$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$
证明
设在 $f(x)$在$[a,b]$上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为$M$ ，最小值为 $m$，
最大值和最小值可相等。
对$m<f(x)<M$两边同时积分可得：
$$m(b-a)≤\int^b _af(x)dx≤M(b-a)$$
同除以（b-a）从而得到：
$$m≤\frac{1}{b-a}\int^b _af(x)dx≤M$$
由连续函数的介值定理可知，必定$\existξ\in [a,b]$ ，使得$f(ξ)=\frac{1}{b-a}\int^b _af(x)dx$，即：
$$\int^b _af(x)dx=f(ξ)(b-a),\existξ\in [a,b]$$
命题得证。
第二积分中值定理
设$f(x)g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)$在$[a,b]$上恒号，则$\existξ\in [a,b]$使
$$\int^b _af(x)g(x)dx=f(ξ)\int^b _ag(x)dx$$
第一中值定理就是第二中值定理的特例，$g(x)\equiv1$