一、讨论等比级数（也称几何级数）
$$\sum_{i=1}^{\infty} aq^{n-1} =a+aq+aq^2+…+aq^n-1+…\$$
的敛散性，其中$$a$$ $$\not=$$ $$0,q$$是级数的公比
解：
$$
S_n=a+aq+aq^2+…+aq^n-1\
=\begin{cases}
na& \text{q=1}\\
\frac{a(1-q^{n-1})}{1-q}& \text{q!=1}
\end{cases}
$$
$$
\lim_{x\rightarrow\infty} Sn=
\begin{cases}
\lim_{x\rightarrow\infty} a_n=\infty& \text{q=1}\\
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{a(1-q^{n})}{1-q}& \text{q!=1}
\end{cases}
$$
综上：
$$|q|<1时,\lim_{x\rightarrow\infty} Sn=\frac{a}{1-q}\$$
$$|q|\geq1时,\lim_{x\rightarrow\infty} Sn不存在\$$
结论：
$$当|q|<1时,\sum_{i=1}^{\infty} aq^{n-1}=\frac{a}{1-q}，\$$
$$当|q|\geq1时,\sum_{i=1}^{\infty} aq^{n-1}发散。
$$
二、P——级数
$$
P——级数：
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^P}
=\begin{cases}
收敛& \text{P>1时}\\
发散& \text{P<=1时}
\end{cases}
$$
调和级数（发散）
当P——级数中P=1时，称为调和级数
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}+…$$
三、级数相加的敛散性变化
$$1.若\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛，而\sum_{i=1}^{\infty}v_n发散，\则\sum_{i=1}^{\infty}（u_n+v_n）发散$$
$$2.若\sum_{i=1}^{\infty}u_n，\sum_{i=1}^{\infty}v_n都收敛，\则\sum_{i=1}^{\infty}（u_n+v_n）收敛$$
$$3.若\sum_{i=1}^{\infty}u_n，\sum_{i=1}^{\infty}v_n都发散，\则\sum_{i=1}^{\infty}（u_n+v_n）有可能收敛$$
四、正项级数
$$若u_n>0,n=1,2,3…,则称\sum_{i=1}^{\infty}u_n为正项级数$$
正项级数的敛散性判别法
1.定义法：
$$若正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛\longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow\infty} S_n=s$$
2.基本定理法：
$$若正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n的前n项和数列{S_n}有上界，\则\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛。$$
3.正项级数比较审敛法：
Th1:（比较审敛法）
$$设正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n和\sum_{i=1}^{\infty}v_n$$
$$（1）若u_n\leq v_n(n=1,2,…)且\sum_{i=1}^{\infty}v_n收敛，\则\longrightarrow \sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛$$
证明：
$$\because \sum_{i=1}^{\infty}v_n 收敛 \longrightarrow \lim_{x\rightarrow\infty} S_n^{(1)}=s \longrightarrow {S_n^{(1)}} 有界 $$
$$即\exists M>0,\forall n \in N^*,有0<S_n^{(1)}<M$$
$$S_n^{(2)}=u_1+u_2+…+u_n\leq \v_1+v_2+…+v_n=S_n^{(1)}\leq M$$
$$\therefore 由2.基本定理知\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛$$
$$（2）若u_n\geq v_n(n=1,2,…)且\sum_{i=1}^{\infty}v_n发散，\则\longrightarrow \sum_{i=1}^{\infty}u_n发散$$
Th2:比较审敛法的极限形式
$$设正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n和\sum_{i=1}^{\infty}v_n，且\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n}=l$$
$$(1)0<l<+\infty时,则\sum_{i=1}^{\infty}u_n和\sum_{i=1}^{\infty}v_n\具有相同的敛散性。$$
$$(2)l=0时,若\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛，则\sum_{i=1}^{\infty}v_n收敛$$
$$(3)l=+\infty时,若\sum_{i=1}^{\infty}u_n发散，则\sum_{i=1}^{\infty}v_n发散$$
以上“比较审敛法的极限形式”的方法需要自行构造合适的$v_n$以求$u_n$敛散性
Th3:（比值审敛法）
$$正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n,若p=\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n},则$$
$$(1)0\leq p<1时,则\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛$$
$$(2)p>1时,则\sum_{i=1}^{\infty}u_n发散$$
$$(3)p=1时,可能收敛，可能发散$$
一般情况用比值审敛法来求带阶乘级数的敛散性
Th4:(根植审敛法)
$$正项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n,若p=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n},则$$
$$(1)0\leq p<1时,则\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛$$
$$(2)p>1时,则\sum_{i=1}^{\infty}u_n发散$$
$$(3)p=1时,可能收敛，可能发散$$
$$根值审敛法一般用于求带u_n=\frac{\alpha^n}{n^s}的这种形式$$
五、交错级数
$$定义：若u_n>0,\称\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^nu_n或\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n为交错级数$$
莱布尼兹判别法：
$$若交错级数满足：\
(1){u_n}单调减少\
(2)\lim_{n\to\infty} u_n= 0\
则该交错级数收敛
$$
绝对收敛和条件收敛
$$
定义：若|u_n|收敛，则称\sum_{i=1}^{\infty}u_n绝对收敛\
若\sum_{i=1}^{\infty}u_n收敛，但\sum_{i=1}^{\infty}|u_n|发散，\则称为条件收敛\
\star 绝对收敛的级数必定收敛
$$
六、幂级数（函数项级数）：
$${u_n(x)}函数列\\sum_{i=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+…+u_n(x)+…$$
定义：
$$(1)\forall x_0\in D 若\sum_{i=1}^{\infty}u_n(x_0)收敛，\
则称x_0为函数项级数\sum_{i=1}^{\infty}u_n(x)的收敛点，\
否则x_0为\sum_{i=1}^{\infty}u_n(x)的发散点。\
(2)收敛域：\所有收敛点的集合称为函数项级数\\sum_{i=1}^{\infty}u_n(x)的收敛域。
$$
不缺项幂函数收敛域、收敛区间求法：
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_n)^n$$
$$记作：\a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+…+a_n(x-x_0)^n+…$$
$$\star \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n+…$$
$$Th:如果\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|= l\
其中a_n,a_{n+1}是幂级数\\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n相邻两项的系数，\则此幂级数的收敛半径为R\
\
\
R
=\begin{cases}
\frac{1}{l}& \text{l!=0}\
\infty& \text{l=0}\
0& \text{l=∞}
\end{cases}
\
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n在(-R,R)内收敛。\
收敛域则通过带入验证，收敛域可能为：\
[-R,R],[-R,R),(-R,R),(-R,R]
$$
缺项的幂函数收敛域、收敛区间求法：
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n}和\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{2n+1}\
p=\lim_{n\to\infty} |\frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}|\= \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}x^{2n+2}}{a_{n}x^{2n}}|\\=\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}x^2|<1\
x^2<\frac{1}{l},\
R=\frac{1}{l}=\frac{1}{\sqrt{l}}
收敛区间（-R,R）,\
收敛域，同不缺项的幂级数求法相同。
$$
幂级数和函数的性质
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=s(x)\
x\in收敛域，收敛半径为R\
$$
性质：
$$（1）和函数s(x)在(-R,R)内连续\
(2)逐项积分：\int_0^x s(t)dt\
=\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n dt\
=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x a_nt^n dt\
=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}\
(3)逐项求导：s(x)在(-R,R)内可导，逐项都可导\
即s’(x)=\int_0^x s(t)dt\
=(\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n)’\
=\sum_{n=1}^{\infty}(a_nx^n)’\
=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
$$
幂级数 和函数的求法
$$
（1）当幂级数的一般项形式\
如\frac{x^n}{n(n+1)}时，\
可先用求导后求积分的方法求其和函数。\
(2)当幂级数的一般项形式如\
(2n+1)x^{2n},n(x)^{n-1}等时\
可“先积后导”\
(3)常用的幂级数展开式\
\star \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\
=1+x+x^2+…+x^n+…(-1<x<1)\
\star \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\
=1-x+x^2-…+x^n+…(-1<x<1)\
$$
函数展开成幂级数
$$
y=f(x)在x=x_0的邻域内，\
（任意阶可导）具有充分的光滑性\
泰勒级数：\
f(x)=f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)\
+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…\
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+…\
当x_0=0时,\
即为麦克劳林级数：\
f(x)=f(0)+\frac{f’(0)}{1!}x\
+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+…\
$$
常用的几个函数展开
$$
(1)e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+…+\frac{1}{n!}x^n+… \
x\in (-\infty,+\infty)\
(2)sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7\
+…+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}+…\
x\in (-\infty,+\infty)\
(3)cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^4}{6!}\
+…+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n)!}x^{2n}+…\
x\in (-\infty,+\infty)\
(4)ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…\+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+… \
x\in(-1,1]
$$