二元函数的极值

1.二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是是极值点，对于驻点可用极值的充分条件判定。

2.二元函数取得极值的必要条件：设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分而且在点 $(x_0,y_0)$ 处有极值，则 $f’_x(x_0,y_0)=0$ ,$f’_y(x_0,y_0)=0$ ,即 $(x_0,y_0)$ 是驻点。

3.二元函数取得极值的充分条件：设 $z = f(x,y)$ 在$$(x_0,y_0)$$的某个领域内有连续的二阶偏导数，且 $$f’x(x_0,y_0) = f’y(x_0,y_0)=0$$ ,令$$f’{xx}(x_0,y_0) = A$$,$$f’{xy}(x_0,y_0) = B$$,$$f’_{yy}(x_0,y_0) = C$$ ,则

当 $B^2-AC<0$ 且 $A<0$ 时，$f(x_0,y_0)$ 为极大值；

当 $B^2-AC<0$ 且 $A>0$ 时，$f(x_0,y_0)$ 为极小值；

当 $B^2-AC>0$ 时，$(x_0,y_0)$ 不是极值点；

当 $B^2-AC=0$ 时，函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论。

今天是2020年 1月28日 不知不觉已经六十多天没有更新过这个东西了吧。。。

闹瘟疫宅在家没事干，是时候动手写点东西了。

鼠年大吉，升本必胜！

故事是这样的，在宿舍里，没带路由器，也没带网线。

但是开学前觉得树莓派在家放着吃灰，就装书包里了。

偏偏最近想要用树莓派在连接学校的校园网然后配合小米wifi当个热点机用。

于是开始了试探性的折腾。

开启SSH

树莓派当前版本的系统默认ssh是关闭的。开启方法也很简单：

使用读卡器进入树莓派的BOOT分区，然后创建一个名为SSH的文件，即可默认开启SSH。(可以添加多个)

配置开启自动连接热点

wpa_supplicant.conf:

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country=GB

ctrl_interface=DIR=/var/run/wpa_supplicant GROUP=netdev

update_config=1

network={

ssid=”将我替换成Wi-Fi名”

psk=”将我替换成Wi-Fi密码”

priority=将我替换成数字，数字越大代表优先级越高

}

然后就可以将内存卡插入树莓派上电开机啦。。。

如图（我直接将小米WIFI也插到usb上了，免驱，所以显示两个连接。）

裂项相消法

$\frac{1}{n(n+1)}$

$=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

例题：

$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2·3}+…+\frac{1}{n(n+1)})$

$=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

$=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n+1})=1$

夹逼定理求数列极限

若函数$F(x)$和函数$G(x)$

在$x_0$的邻域连续，

$x\to\ x_0$时极限都为A，

即$\lim_{x\to x_0} F(x)$

$=\lim_{x\to x_0} G(x)=A$，

且在该$x_0$的邻域一直满足$F(x)\leq f(x)\leq G(x)$。

则当$x\to x_0$时也有

$\lim_{x\to x_0}F(x)\leq$

$\lim_{x\to x_0}f(x)\leq$

$\lim_{x\to x_0}G(x)$

也就是$A\leq\lim_{x\to x_0}f(x)\leq A$

所以$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$。

例题1：

$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})$

解：令$f(x)=$原式

设$F(x)=\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+n\pi}+\frac{1}{n^2+n\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n\pi}$

$G(x)=\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+\pi}+…+\frac{1}{n^2+\pi})$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+\pi}$

$\because$ 函数$F(x)$和函数$G(x)$连续，且满足$F(x)\leq f(x)\leq G(x)$。

$\therefore$ 根据夹逼定理可知

$\lim_{x\to x_0}F(x)$

$=\lim_{x\to x_0}f(x)$

$=\lim_{x\to x_0}G(x)=1$

综上所述$\lim_{n\to\infty}n(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2\pi}+…+\frac{1}{n^2+n\pi})=1$

八月一号那天发现忘记了这两个小知识点，故在此记录。。

求极限
$lim_{n\to\infty} \int^1_0 \frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}dx$

首先考虑
$x_n=\frac{sin^3x}{1+sin^3x}$

$\therefore 0 ≤ x_n ≤1$

$\therefore 0≤\frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}≤x^n$

$\because lim_{n\to\infty} \int^1_0 0 dx=lim_{n\to\infty} \int^1_0 x^n dx=0$

综上所述，由夹逼定理可知，
$lim_{n\to\infty} \int^1_0 \frac{x^nsin^3x}{1+sin^3x}dx=0$

反正弦、反余弦、反正切、反余切

正割、余割

正弦、余弦、正切、余切

对数函数

分式函数、指数函数

$y=x^2$、$y=x^3$、$y=x^4$、$y=\sqrt{x}$

第一重要极限的公式

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1$

变形：
$\lim_{x\to\infty}x\sin{\frac{1}{x}}$

$=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=1$

若$\lim_{x\to x_0}\phi(x)=0$

则$\lim_{x\to0}\frac{\sin \phi(x)}{\phi(x)} =1$

第二重要极限公式

$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x =1$

$\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x} =1$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$

$(a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2$

一、区位码

为了适应计算机处理汉字信息的需要，1981年我国颁布了GB2312国家标准。该标准选出6763个常用汉字（其中，一级常用汉字3755个，二级汉字3008个）和682个非汉字字符，并为每个字符规定了标准代码，以便在不同的计算机系统之间进行汉字文本交换。

GB2312字符集构成一个94行、94列的二维表，行号称为区号，列号称为位号，每一个汉字或符号在码表中的位置用它所在的区号和位号来表示。

为了处理与存储的方便，每个汉字的区号和位号在计算机内部分别用一个字节来表示。例如，”学”字的区号为49，位号为07，它的区位码即为4907，用2个字节的二进制数表示为：

00110001 00000111

二、国标交换码

区位码无法用于汉字通信，因为它可能与通信使用的控制码（00H1FH）（即031）发生冲突。（因为ASCII码编码中分控制信号编码和有型字符编码，前32个是控制码，如回车、换行、退格等，为避开这些控制码，国标码规定在区位码的基础上加20H，即32的16进制数）ISO2022规定每个汉字的区号和位号必须分别加上32（即二进制数00100000），经过这样的处理而得的代码称为国标交换码，简称交换码或国际码，因此，”学”字的国标交换码计算为：

1
2
3
4
5
6
7

00110001 00000111

+00100000 +00100000

______________________

01010001 00100111

用十六进制数表示即为5127H。

三、机内码

由于文本中通常混合使用汉字和西文字符，汉字信息如果不予以特别标识，就会与单字节的ASCII码混淆。此问题的解决方法之一是将一个汉字看成是两个扩展ASCII码，使表示GB2312汉字的两个字节的最高位都为1。这种高位为1的双字节汉字编码即为GB2312汉字的机内码，简称为内码。

因此，”学”字的机内码为：

11010001 10100111

用16进制表示即为D1A7H。

最后要指出的是，汉字的输入编码与汉字的机内码是不同范畴的概念。不管采用什么样的编码输入法（例如拼音、五笔字型等）来输入一个汉字，其机内码都是相同的。

四、总结

区位码、国标码与机内码的转换关系

方法：

（1）区位码先转换成十六进制数表示

（2）（区位码的十六进制表示）＋2020H＝国标码；

（3）国标码＋8080H＝机内码

举例：以汉字”大”为例，”大”字的区内码为2083

示例解析：

1、区号为20，位号为83

2、将区位号2083转换为十六进制表示为1453H

3、1453H＋2020H＝3473H，得到国标码3473H

4、3473H＋8080H＝B4F3H，得到机内码为B4F3H

5、1453H＋A0A0H＝B4F3H，得到机内码为B4F3H

6、机内码B4F3H－A0A0H＝1453H的区位码

大字的区码是20H（32区，83位）

导数的基本公式

$C\prime=0$ (c为任意常数)

$(x^\alpha)\prime=\alpha x^{\alpha-1}$

$a^x=a^x \ln{a}$

$(e^x)\prime=e^x$

$(\log_ax)\prime=\frac{1}{x \ln a}$

$(\ln x)\prime=\frac{1}{x}$

$(\sin x)\prime=\cos x$

$(\cos x)\prime=-\sin x$

$(\tan x)\prime=\sec^2 x$

$(\cot x)\prime=-\csc^2 x$

$(\sec x)\prime=\sec x\tan x$

$(\csc x)\prime=-\csc x\cot x$

$(\arcsin x)\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)\prime=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)\prime=\frac{1}{1+x^2}$

$(arccot x)\prime=\frac{-1}{1+x^2}$

导数的四则运算

$\bigg(u(x)+v(x)\bigg)\prime=u\prime(x)+v\prime(x)$

$\bigg(u(x)-v(x)\bigg)\prime=u\prime(x)-v\prime(x)$

$\bigg(u(x)v(x)\bigg)\prime=u(x)v\prime(x)+u\prime(x)v(x)$

$\bigg(\frac{v(x)}{u(x)}\bigg)\prime=\frac{u(x)v\prime(x)-u\prime(x)v(x)}{[u(x)]^2}$

当x趋近于0时:
$a^x-1 \sim xlna$
$ln(x+1) \sim x$
$sinx \sim x$
$arcsinx \sim x$
$tanx \sim x$
$arctanx \sim x$
$1-cosx \sim \frac{(x^2)}{2}$
$tanx-sinx \sim \frac{(x^3)}{2}$
$(1+bx)^a-1 \sim abx$
值得注意的是等价无穷小的替换一般用在乘除中，一般不用在加减运算的替换